Taxa Interna de Retorno (TIR). É a taxa que anula o NPV de um fluxo de caixa.

Normalmente, na época zero incide o valor do investimento, empréstimo ou financiamento, sendo os demais fluxos representados pelas receitas ou pagamentos devidos.

Assim:

FC0 - FC1 (1+i)^-1 - FC2 (1+i)^-2 FC3 (1+i)^-3 ....-....FCn(1+i)^- n = O (no caso de um empréstimo)

Ou - FC0 + FC1(1+i)^-1 - FC2 (1+i)^-2 FC3 (1+i)^-3 ....+ FCn(1+i)^- n = O (no caso de um investimento).

Deste modo é fácil concluir que a taxa de retorno TIR indica rentabilidade, no caso de um investimento, e custo, no caso de um financiamento.
Exemplo:

Um investimento no valor de R$ 100.000,00 produz rendimentos semestrais de R$ 20.000,00 R$ 50.000,00 R$ 60.000,00 e R$ 45.000,00 no 1o, 2o, 3o, 4o semestres, respectivamente. Calcular a TIR.

CONVENCIONAL



Então

- 100000 + 20000 (1 + i)^- 1 + 50000 ( 1+ i)^- 2 + 60000 (1 + i)^- 3 + 45000 ( 1 + i)^- 4 = 0

Para o cálculo de I, teríamos que dar valores para i (arbitrários), até encontrar um valor positivo e outro negativo, para NPV. Em seguida, através de uma interpolação linear, calcularíamos a TIR.

PELA HP

100000

g

CFo

20000

g

CFj

50000

g

CFj

60000

g

CFj

f

IRR

R: 23,5% a.s.

A taxa encontrada indica a rentabilidade semestral do investimento. A rentabilidade total do projeto em questão atinge: I T = (1,2358) - 1 = 133,26% nos quatro semestres.

Verifica-se a rentabilidade total também acumulando nos 4 semestres os recebimentos à taxa de 23,58% a.s. (TIR), obtendo-se um montante total de R$ 233.254,39 que, em relação ao investimento inicial; de R$ 100.000,00 equivale ao rendimento total de 133,26%, já apurado.

EXEMPLO 2

Um empréstimo no valor de R$ 800.000,00 é concedido para ser pago em quatro pagamentos trimestrais, nos valores de R$ 150.000,00, R$ 250.000,00 , R$ 350.000,00 e R$ 190.000,00. calcular a taxa interna de retorno (TIR).

CONVENCIONAL

Somente poderíamos calcular por método interativo, já abordado.

PELA HP



Tem-se:

800000

g

CFo

- 200000

g

CFj

- 300000

g

CFj

- 350000

g

CFj

- 220000

g

CFj

f

IRR

R: 12,38% a.t.

Taxa que correspondente ao custo anual de: ia = (1 + 0,1238)4 - 1 = 59,51% a.a. ou

PELA HP

12,38

i

4

n

R/s

R: 59,51% a.a.

Exemplo 3.

Considerando uma taxa mínima de atratividade de 12% a.a., qual dos projetos é mais vantajoso:

a) emprestar R$ 300.000,00 , para ser pago em 10 pagamentos anuais iguais de R$ 60.000,00 ou

b) emprestar R$ 150.000,00, para ser pago em 12 pagamentos anuais iguais de R$ 30.000,00?

RESOLUÇÃO

PELA HP

a) 300000

PV

10

n

- 60000

PMT

R: 15,09% a.a (T.I.R.) .

150000

PV

12

n

- 30000

PMT

R: 16,94% a.a.

Numa primeira avaliação, o projeto B seria o melhor.

Mas, levando em conta que, ao optar pelo projeto b, estaríamos deixando de aplicar R$ 150.000,00; diferença entre a e b ( R$ 300.000,00 - R$ 150.000,00) pelo menos, à taxa mínima de atratividade e pelo tempo igual ao tempo de resgate do projeto B, obteríamos um retorno, no mínimo:

150000

PV

12

n

12

i

PMT

PMT = R$ 24.215,52.

Somando-se com o retorno do projeto B, teríamos um retorno anual de R$ 54.215,52 que, levando em conta agora um investimento de R$ 300.000,00 pelo mesmo tempo do projeto B, produziria uma taxa de retorno:

300000

PV

12

n

- 54325,52

PMT

i

R: i = 14,52% a.a.

Mostrando, deste modo, que a alternativa A é a melhor:

TIR A = 15,09% a.a.

TIR B = 14,52% a.a.

Exemplo 4

Uma empresa está analisando a compra de um veículo de transportes no valor de R$ 190.000,00. O caminhão será usado durante 5 anos, para ser vendido, então, por um valor previsto de R$ 22.800,00. A empresa estima além disso, um custo anual com o veículo, incluindo manutenção, combustível e outros, de R$ 76.000,00 no primeiro ano, havendo um crescimento progressivo de 10% a.a. ainda de acordo com a experiência da empresa, o caminhão deverá proporcionar benefícios líquidos durante a sua utilização, nos cinco anos de uso, de R$ 190.000,00 no primeiro ano, R$ 176.000,00, no segundo; R$ 152.000,00, no terceiro, R$ 127.300,00 no quarto e R$ 114.000,00, no quinto ano. Considerando uma taxa de desconto de 12% a.a. (TMA) analisando-se a viabilidade econômica da compra do caminhão, tem-se.

CONVENCIONAL





PV = 190000 ( 1+ 0,12)^-1 + 176700 (1+0,12)^-2 + 152000 ( 1+0,12)^-3
+ 127300 (1+0,12)^-4 + 114000 (1+0,12)^-5

:. PV = 564.285,72

Cálculo do PV das saídas de caixa (Custos)



PV = 190000 = 76000 ( 1+ 0,12)^- 1 + 83600 (1+0,12)^- 2 + 91960 ( 1+0,12)^- 3 + 101156 (1+0,12)^- 4 - 22800 (1 + 0,12)^- 4 = 439.754,51

O que faz resultar um NPV > 0 isto é:

NPV = 564.285,72 - 439.754,51 =

R$ 124.531,20

O projeto é portanto, vantajoso, há uma rentabilidade superior à taxa de desconto mínima aceitável.

PELA HP

CÁLCULO DE PV (BENEFÍCIOS)

190000

PV

1

n

12

i

PV

176700

FV

2

n

PV

+

152000

FV

3

n

PV

+

127300

FV

4

n

PV

+

114000

FV

5

n

PV

+

PV = R$ 564.285,72

CÁLCULO DE PV (CUSTOS)

- 19000076000

FV

1

n

i

PV

83600

FV

2

n

PV

+

91960

FV

3

n

PV

+

101156

FV

4

n

PV

+

22800

FV

4

n

PV

-

PV = R$ 439.754,51

O que, certamente, produz um NPV > 0, como já vimos:

564285,72 439754,51 -

NPV =

R$ 124531,20

O projeto é, portanto, vantajoso.

EXEMPLO 5

Uma Debênture é emitida mediante as seguintes condições:

a) Valor nominal: R$ 100.000,00
b) Data de emissão: 1/10/96
c) Prazo do papel: 1 ano
d) Juros de 20% a.a., pagáveis trimestralmente no 1o dia de cada trimestre civil e calculados sobre os dias corridos, exatamente.
e) Deságio de 5% no valor nominal do papel, na data da emissão.

OBSERVAÇÃO:

Debêntures são títulos emitidos por Sociedades Anônimas para captar recursos de financiamento a longo prazo. Há debêntures não conversíveis e conversíveis em ações. As debêntures não conversíveis pagam juros reais periodicamente, sendo o valor nominal da emissão pago juntamente com a última parcela de juros, no final da operação. As conversíveis dão ao portador o direito de opção pelo resgate final, pelo valor nominal de emissão ou por ações da empresa.

As debêntures freqüentemente são negociadas com um deságio sobre seu valor nominal, com a finalidade de influir na competitividade no mercado financeiro.
O Imposto de Renda é cobrado sobre os juros reais, no ato do recebimento.

RESOLUÇÃO:

CONVENCIONAL

a) Cálculo da taxa diária para 20% a.a.
Id - (1+0,20)^1/ 365 -1 = 0,050% a.d.

b) Cálculo do número exato de dias para cada cupom de juros.
1/1/96 a 1/4/96
1/1/96 à 31/1/96 30
31/1/96 à 29/2/96 29
29/2/96 à 31/3/96 31
31/3/96 à 1/4/96 1 
                                 91

1/4/96 a 1/7/96 1/4/96 à 30/4/96 29
1/4/96 à 31/5/96 31
31/5/96 à 30/6/96 30
30/6/96 à 1/7/96 1 
                                 91

1/7/96 a 1/10/96 1/7/96 à 31/7/96 30
31/7/96 à 31/8/96 31
31/8/96 à 30/9/96 30
30/9/96 à 1/10/96 1 
                                  92

c) Cálculo do valor dos juros de cada cupom trimestral

1) Cupom de 1/4/96

J = FV - PV Então: J = PV (1+i )^n - PV

J = PV [ ( 1 + i) n -1 ]

J1 = 100000 [ ( 1 + 0,00050)^91 -1 ] = 4653,91

2) Cupom de 1/7/96

J2 = 100000 [ ( 1 + 0,00050)^91 -1 ] = 4.706,23

3) Cupom de 1/10/96

J3 = 100000 [ ( 1 + 0,00050)^92 -1 ] = 4.706,23

4) Cupom de 01/10/97

J2 = 100000 [ ( 1 + 0,00050)^92 -1 ] = 4.706,23

d) Cálculo da rentabilidade efetiva anual

Fluxo de Caixa considerando o deságio de 5%.



Pelo cálculo teórico só poderemos obter o resultado por métodos interativos, isto é, por tentativa e erro e interpolação linear.

PELA HP

- 95000

CFo

0 g

CFj

90 g

Nj

- 4653,91 g

CFo

0 g

CFj

90 g

Nj

- 4653,91 g

CFo

0 g

CFj

90 g

Nj

104706,23 g

CFj

f

IRR

I.R.R. = 0,065% a.d.

Taxa efetiva anual: 0,0650

i

365

n

R/s

Ia = 26,77% a.a.