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TAXAS PROPORCIONAIS

São taxas que guardam entre si a mesma razão do que os prazos a que se referem:

Exemplos:

120% a.a. e 10% a.m. pois: 120/10 = 12/1

60% a.s. e 30% a.b. pois: 60/30 = 2/1

80% a.a. e 20% a.t. pois: 80/20 = 4/1

Nos Juros Simples, as taxas proporcionais são equivalentes, isto é, 120% a.a. ou 10% a.m. tem a mesma validade quando aplicadas sobre um capital.
Nos Juros Compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes. Assim 120% a.a. e 10% a.m., nos Juros Compostos, não produzem o mesmo resultado.

TAXAS EQUIVALENTES

São taxas que, aplicadas a um mesmo capital com freqüência de capitalização diferente, produzem, ao final um mesmo montante.
Assim: 48% a.a. com capitalização mensal e 60,10% a.a. com capitalização anual são taxas equivalentes.
Suponhamos um capital de R$ 1.000,00 aplicado às duas taxas pelo prazo de 1 ano.

Temos:
FV1 = 1000 (1 + 0,48/12)^12 = 1601,00

FV2 = 1000 (1 + 0,601)^1 = 1601,00

Surge o conceito de freqüência de capitalização - m, ou seja, número de vezes que um período menor cabe num período maior. Assim: trimestre em relação a um ano - m = 4; bimestre em relação a um ano - m = 6; trimestre em relação a um semestre -m =2.

TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA

Nos problemas de Juros Compostos, quando o período de capitalização não coincidir com o período da taxa, considera-se a taxa por período de capitalização, proporcional à taxa anunciada.

A taxa por período de capitalização denomina-se taxa efetiva e a taxa anunciada, taxa nominal.

Evidentemente, as taxas nominal e efetiva são equivalentes.

Por exemplo: Um capital de R$ 3.000,00 foi aplicado durante um ano, a taxa de 36% a.a., com capitalização mensal. Calcular o montante.

A taxa de 36% a.a. com capitalização mensal é a taxa nominal

Então:

Taxa efetiva no período: 36%/12=3% a.m.

Logo:

FV = 3000(1 + 0,03)=4.277,28

RELAÇÃO ENTRE TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL

Seja i

taxa nominal

m

freqüência de capitalização

Seja PV

valor presente

ie

taxa efetiva

Consideremos n = 1 ano

Então:

JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS

Vejamos o que acontece quando compararmos uma taxa a juros simples, 6% am., por ex., com uma taxa efetiva em diferentes prazos de aplicação.

1º ) Prazo 20 dias

PV = 1000

FV = 1000(1 + 0,06 X 20/30) = 1040

Taxa efetiva diária:

1040 = 1000 ( 1 + id)^20 = 0,193% a.d.
im = (1 + 0,001963)^30 - 1 = 6,06% a.m.

2º) Prazo 30 dias

FV = 1000 (1 + 0,06 x 30/30) = 1060

Taxa efetiva diária:

1060 = 1000 (1 = id)^30

0,1944% a.d.

im = (1 + 0,001944)^30 -1

6% a.m.

3º) Prazo 60 dias

FV = 1000 (1 + 0,06 x 60/30) = 1120

Taxa efetiva diária:

1120 = 1000 (1 + id)^60

0,1891
im = ( 1 + 0,001891)^30 -1

5,83% a.m

Concluímos então:

a) para prazos inferiores a 30 dias de aplicação, a taxa efetiva mensal é maior que a taxa mensal a juros simples e crescerá inversamente à variação do prazo.
b) para prazos de 30 dias de aplicação, as taxas serão iguais.
c) para prazos superiores a 30 dias de aplicação, a taxa efetiva mensal será menor do que a taxa mensal de juros simples e decrescerá inversamente à variação do prazo.

TAXA OVER

As considerações anteriores têm larga aplicação no conceito de "Taxa Over", muito utilizada na prática financeira. É definida como sendo uma taxa nominal mensal que corresponde a uma taxa efetiva mensal obtida, considerando o período de dias úteis contidos no período de 30 dias corridos.

No mercado financeiro a Taxa Over remunera as operações com títulos públicos somente em dias úteis, quando da realização dos leilões pelo BACEN.

Considerada a taxa primária do Mercado, a Taxa Over baliza outros negócios, tais como:
RDB, CDB, HOT MONEY, capital de giro, etc.

Exemplo:

Considerando uma taxa over de 18% a.m., calculemos a taxa efetiva mensal correspondente a 21 dias úteis.

Taxa diária proporcional: 18/30 = 0,6% a.d.
Taxa efetiva mensal.: (1 + 0,006)^21 -1 = 13,39% a.m.

IMPOSTOS X TAXAS EFETIVAS

Os impostos, evidentemente, influem no valor das taxas efetivas de uma operação financeira.

Vejamos dois exemplos:

1º) O imposto arrecadado sobre o valor futuro e cobrado na liberação do empréstimo.

Uma pessoa vai a um banco e solicita um empréstimo de R$ 1000,00 para ser pago em 90 dias. O banco cobra uma taxa de 6% a.m. e arrecada um imposto de 2% sobre o valor futuro, sendo cobrado na liberação do empréstimo.

Então:

FV = 1000 (1 + 0,06)^3 = 1.191,01

Imposto: 0,02 X 1.191,01 = 23,82

Valor líquido: 1000 - 23,82 = 976,17

Taxa de juros no período: 1191,01/976,17 - 1 = 0,2201 ou 22,01%.

Taxa efetiva paga: im = (1 + 0,2201)^1/3 -1 = 0,0685 ou 6,85% a.m.

2º) Imposto pro rata dias incidindo sobre o principal, cobrado no momento da assinatura do contrato.

Mesmo problema anterior com um imposto de 0,6 a.m pro rata dias. Devemos calcular primeiro a taxa diária considerando o ano com 365 dias e depois, o valor por 90 dias. Assim:

0,006 X 12/365 = 0,0001972

Taxa diária:

Por 90 dias: 0,0001972 X 90 = 0,0177534

Imposto: 0,0177534 X 1000 = 17,75

Valor líquido: 1000 - 17,75 = 982,24

Pagamento: FV = 1000 (1 + 0,06)3 = 1.191,01

Taxa de juros no período: 1191,01/982,24 - 1 = 0,2125 ou 21,25%

Taxa efetiva mensal:

im = (1 + 0,2125)1/3 - 1 = 0,0634 ou 6,34 a.m.

Exemplos: (Taxa Nominal e Taxa Efetiva)

1. Calcular a taxa efetiva anual correspondente as seguintes taxas nominais.
a. 144% a;a; composto mensalmente
b. 116% a.a. composto trimestralmente
c. 180% a.a. composto bimestralmente

CONVENCIONAL

a) ie = (1+1,44/12)^12 -1 = 289,59% a.a.
b) ie = (1+1,16/4)^4 - 1 = 176,92% a.a.
c) ie = (1 + 1,8/6)^6 -1 = 382,68% a.a.
2) Calcular as taxas nominais anuais correspondentes as seguintes taxas efetivas anuais.

142,5% a.a.
134,4% a.a.
116% a.a

RESOLUÇÃO

a) im = (1 + 1,425)1/12 -1 = 0,0766 ou 7,66 a.m.

7,66% X 12 = 91,93% a.a.
b) im = (1 + 1,344)1/12 -1 = 0,0735 ou 7,35 a.m.

7,35% X 12 = 88,28% a.a.
c) im = (1 + 1,16)1/12 -1 = 0,0662 ou 6,62 a.m.

6,62% X 12 = 79,53% a.a

PELA HP

Podemos colocar um simples programa na HP 12C para efetuar cálculos de taxa equivalentes.
Temos:

ie = [(1 + i/100) -1] x 100

Programando, tem-se: